Como a matemática alcança o infinito – 16/11/2021 – Marcelo Viana


Na linguagem corrente, é chamado “efeito dominó”: se alinharmos peças de dominó em pé, de tal modo que a queda de qualquer uma acarrete a queda da seguinte, e derrubarmos a primeira peça, então todas cairão. Já os matemáticos, chamam princípio da indução: se uma certa afirmação é verdadeira para o número 1, e se o fato de ser verdadeira para um número inteiro N acarreta que também é verdadeira para N+1, então ela é verdadeira para todos os inteiros positivos.

O primeiro a usar a palavra “indução” nesse sentido foi o inglês John Wallis (1616–1703), na obra “Arithmetica Infinitorum”, publicada em 1656. O seu compatriota Augustus de Morgan (1806-1871), cunhou a expressão “indução matemática” em 1838, como título de verbete de uma enciclopédia, porém usava mais “indução sucessiva”.

Já o alemão Dedekind (1831–1916) preferia falar em “indução completa”, para realçar que com ela podemos provar rigorosamente afirmações para todos os números, um conjunto infinito, enquanto as ciências experimentais estão limitadas a verificarem suas leis apenas num número finito de exemplos.

Mas o princípio da indução foi descoberto muito antes: ele já foi usado, ainda que informalmente, nos trabalhos do persa Abū Bakr al-Karajī (‎953–1029), por volta do ano 1000, e do indiano Bhāskara (1114–1185). O primeiro a usar rigorosamente foi o matemático judeu Levi ben Gershon (1288–1344), mais conhecido como Gersonides. Em 1575, o italiano Francesco Maurolico (1494–1575) usou indução para provar que a somas dos N primeiros números ímpares é igual a N2.

O primeiro a formular o princípio da indução explicitamente foi o francês Blaise Pascal (1623–1662), no seu “Tratado do Triângulo Aritmético”, publicado em 1565. Jacob Bernoulli (1655–1705), decano da notável família Bernoulli, usou-o regularmente em seus trabalhos, fazendo com que se tornasse amplamente conhecido.

Já Pierre de Fermat (1607 – 1665), usou bastante um princípio relacionado, chamado método da descida infinita: ele consiste em mostrar que se uma equação tem alguma solução inteira positiva então existe outra solução menor; dessa forma se mostra que na verdade não existe solução. Esse tipo de raciocínio remonta aos “Elementos” de Euclides, onde foi usado, por exemplo, para provar que todo inteiro é divisível por algum primo.


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